膜結構是一種輕巧高效、造型美觀的空間結構形式,近幾十年來發展非常迅速[1],在體育場館、會展中心、機場火車站等大型公共設施中得到了廣泛的應用.膜結構的設計主要包含三個步驟:找形分析、荷載分析和裁剪分析[2,3,4].其中裁剪分析是膜結構設計中至關重要的一個步驟,它決定了膜結構拼接成型后實際的平衡形狀和應力分布[5].在進行曲面劃分后,傳統的裁剪分析通常分為曲面展平和應變補償兩個步驟[6].由于絕大多數膜結構的表面是不可展開的,因此在曲面展平的過程中,將會不可避免地產生誤差,在膜面上曲率越大的區域誤差也會越大[7].

為了減小裁剪誤差,獲得更加精確的裁剪形狀,國內外學者對裁剪分析進行了大量的研究,提出了許多不同的裁剪分析方法[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17].通過先展平后補償的方法來進行裁剪分析雖然具有一定的精度,但是生成裁剪形狀的過程中并不考慮結構最終實際平衡的形態,因此不能確保得到的裁剪形狀是最優的.一些學者為了能達到最優化裁剪的目的,提出了不同于傳統裁剪分析方法的新思路.Kim等人[8]提出了一種考慮結構實際平衡時應力的方法,利用成型后應力與設計應力之差來對膜片裁剪形狀進行調整,通過反復迭代使最終平衡時的應力差最小.然而他所提出的裁剪分析最優化條件只考慮了膜結構實際平衡時的應力誤差最小化,而沒有考慮平衡時的形狀誤差最小化.在實際工程中,結構的形狀誤差也是影響工程質量的一個重要因素,因此該方法具有一定的局限性.另外,該方法在每次迭代修正的過程中都需要分析整體結構的平衡形態,這會大大增加計算成本,不適合在復雜的大型工程中應用.Linhard等人[7]提出了一種將裁剪分析引入到找形分析的方法,根據裁剪形狀來確定結構的應力分布并調整結構的設計形狀,反復迭代以保證裁剪分析得到的膜片在成型后與設計應力之差最小.但是由于這種方法需要在找形分析前確定裁剪線布置,不能在確定設計形狀后再通過測地線等方法獲得最優裁剪線,無法避免裁剪線布置不合理的問題,從而造成一定的材料浪費.另外,由于難以模擬膜結構由裁剪膜片拼接、張拉直至成型的過程,缺少求解膜結構實際平衡形態的方法,現有的裁剪分析無法從平衡形態時形狀誤差和應力誤差的角度確保獲得的裁剪形狀是最優的.

針對現有膜結構裁剪分析存在的問題,本文提出一種考慮由裁剪膜片拼接、張拉后膜結構實際平衡形態的裁剪分析優化方法.首先在膜結構成型過程中引入一個虛擬的“中間形態”,在中間形態時結構的形狀與設計形狀相同.通過將結構先張拉至中間形態再讓其重新平衡至實際平衡形態,將膜結構的成型過程劃分為兩個容易計算的階段,從而實現了由裁剪膜片拼接、張拉后膜結構實際平衡形態的求解.依據中間形態的特點,將最小化中間形態與設計形態之間的應力差作為裁剪分析的最優化目標,并將該應力差作為修正參數引入裁剪膜片,通過力學方法對裁剪分析進行修正,實現了裁剪分析最優化.本文選取一個中國帽模型作為算例,基于SMCAD膜結構設計系統[18],進行膜結構的找形分析和初始裁剪分析.在初始裁剪分析的基礎上進行優化,獲得最優裁剪膜片,分析由最優裁剪膜片組成的實際結構在設計形狀時的應力分布和實際平衡時的形狀及應力分布,并與采用其他裁剪分析方法的結果進行了對比.

膜結構的實際成型過程是將多塊平面裁剪膜片拼接固定后,在使用條件下張拉到平衡形態的過程.在這個從二維到三維的成型過程中結構發生了巨大的位移和應變,且初始形態無法確定,因此要求解膜結構的實際平衡形態非常困難,在現有的裁剪分析方法中難以以實際平衡形態作為依據來對裁剪膜片進行優化.

為了實現膜結構實際平衡形態的計算,本文在膜結構成型的過程中構造了一個虛擬的“中間形態”,利用這個中間形態將結構成型模擬的過程分為兩個階段.在第一個階段中先通過控制形狀的方法將結構從初始形態強制張拉到中間形態,在第二個階段中讓結構在設計條件下重新平衡達到實際平衡形態.由于結構最終的平衡形態只取決于裁剪膜片和邊界條件,而與結構的張拉過程沒有關系,因此通過這種方法求解得到的結構平衡形態是準確的.在加入了中間形態后結構的兩階段成型過程如圖1所示.

圖1中Ω2D是各膜片的裁剪形狀,ΩD是膜結構中間形態時的形狀,σ2D→3D是膜結構由裁剪形態張拉到中間形態時的張拉應力分布,ΩR是結構的實際平衡形狀,σR是結構在平衡形態時的應力分布.中間形態時的形狀可以任意選取而不會影響最終的平衡形態,本文所選取的中間形態,其形狀與找形分析求解所得的設計形狀完全相同.

第一階段的變形過程中,膜結構中間形態時的形狀和膜片裁剪形狀均為已知,且裁剪形態時膜片處于無應力狀態.根據兩個形態時單元之間的映射關系可知從裁剪形態到中間形態時每個單元發生的變形,由此可計算出中間形態時膜中的張拉應力分布σ2D→3D.

而在第二階段的變形過程中,根據結構在中間形態時的應力分布和結構的邊界條件,通過非線性Newton-Raphson方法可以計算出結構實際的平衡形態.在實際的有限元計算中,第二階段的平衡形態分析利用膜結構設計軟件的荷載分析模塊來實現.在找形分析的基礎上,用中間形態應力分布替代設計預應力分布,對結構進行荷載分析可求解由裁剪片組成的實際結構的平衡形態.由于結構中間形態與平衡形態的形狀非常接近,在求解平衡形態的過程中結構發生的位移和變形都比較小,相對于直接根據膜片的平面裁剪形狀來進行結構的平衡形態分析,本方法可以提高計算效率與精度.

通常裁剪分析優化以平衡形態時應力分布的誤差作為目標函數[8],即:

P=∑|σD−σR|2→${\rm P}={\displaystyle \sum \left|\mathit{\sigma }{}_D-\mathit{\sigma }{}_R\right|}{}^2\to$最小化 (1)

式中,σD是膜結構的設計應力,σR是結構實際平衡時的應力分布.

但是膜結構在平衡形態時的誤差不僅有應力誤差還有形狀誤差,滿足式(1)并不能確保這兩個誤差同時達到最小化,由此得到的裁剪形狀并不一定是最優的.

為了確保在裁剪分析同時考慮到結構的應力誤差和形狀誤差,應當滿足如下條件

P=∑|σD−σR|2|σD|2+α∑|XD−XR|2L2→${\rm P}={\displaystyle \sum \frac{\left|\mathit{\sigma }{}_D-\mathit{\sigma }{}_R\right|{}^2}{\left|\mathit{\sigma }{}_D\right|{}^2}}+\alpha {\displaystyle \sum \frac{\left|\mathit{X}{}_D-\mathit{X}{}_R\right|{}^2}{L{}^2}}\to$最小化 (2)

式中,XD是結構的設計節點坐標,XR是結構實際平衡時的節點坐標,L是結構的尺度,α是形狀誤差的調整系數.

通常應力誤差的數量級大于形狀誤差,為了確保在分析中考慮到形狀誤差的因素,在式(2)中加入了一個調整系數α.但由于實際成型的平衡形態計算比較困難,且α和L的取值較難確定,因此式(2)并不是一個便于應用的裁剪最優化判斷條件.利用膜結構成型過程中間形態的概念,本文提出了一個實用的裁剪分析最優化判斷條件:

P=∑|σD−σ2D→3D|2→${\rm P}={\displaystyle \sum \left|\mathit{\sigma }{}_D-\mathit{\sigma }{}_{2D\to 3D}\right|}{}^2\to$最小化 (3)

式中,σ2D→3D是膜結構在中間形態時的張拉應力分布.

相比式(1),式(3)以中間形態時的應力誤差作為目標函數,結構處于中間形態時沒有形狀誤差,應力誤差包含了結構所有的誤差信息,以此時的應力誤差作為調整目標可以避免式(1)中由于忽略了形狀誤差而可能產生的問題.

膜結構在第二階段的變形中,從設計形狀開始發生變形直至平衡,在這個階段中結構發生的變形即為結構平衡形態時的形狀誤差.由于該變形是在應力誤差導致的內力作用下產生的,中間形態時應力誤差越小,結構在第二階段發生的變形就越小,即結構在平衡形態時的形狀誤差越小.依據能量最低原理,結構處于平衡形態時的應變能將會小于中間形態時的應變能,結構平衡形態時的應力差相比中間形態時的應力差會進一步縮小,中間形態時應力誤差越小,平衡形態時的應力誤差也越小.因此,當滿足式(3)后,結構實際成型時的應力誤差和形狀誤差都接近最小值,裁剪分析得到了最優化.

膜結構在中間形態時,由于膜上的張拉應力與設計應力之間存在應力差Δσ,在這個不平衡應力作用下結構無法自行保持平衡.假設將這個應力差Δσ提前施加在初始裁剪膜片上讓其發生變形,將變形后的膜片形狀作為調整后的裁剪膜片,則可以一定程度上消除在中間形態時的應力差,使得中間形態時的張拉應力更加接近設計應力.利用這個方法不斷迭代調整膜片的形狀,可以使膜片不斷得到優化,最終滿足最優化判斷條件.根據以上邏輯,裁剪膜片的調整步驟如圖2所示,主要分為五個步驟:

(1) 強制將初始裁剪膜片張拉到中間形態,根據膜片從平面形狀Ω2D到設計形狀ΩD的變形,計算膜片在中間形態時的張拉應力分布σ2D→3D,計算相對設計應力σD的應力差Δσ;

(2) 將應力差Δσ引入到初始裁剪膜片上,構造一個形狀為Ω2D,應力分布為Δσ的新膜片;

(3) 計算新膜片的平衡形態,忽略膜片中的殘余應力,保留膜片的平衡形狀Ω2D作為優化裁剪形狀;

(4) 將第3步獲得的優化裁剪形狀作為新的初始裁剪形狀,重復上述1～3步,不斷調整膜片的裁剪形狀;

(5) 當中間形態時的應力差Δσ無法繼續縮小或縮小量小于某限值時滿足式(3),裁剪分析達到最優化,輸出最優化裁剪形狀.

選取一個中國帽模型作為算例,該模型尺寸、材料參數和邊界條件均與Linhard[7]以及Gale[9]的研究中采用的模型相同.結構的邊界由上下兩根環索構成,上環的直徑為1.2m,下環的直徑為5.6m,上下環的高度差為1m.結構在各個方向上的設計預應力均為2kN/m.結構使用膜材為各向同性的ETFE膜,厚度為1mm,膜材在徑向和緯向上的彈性模量均為220kN/m,剪切模量為78.6kN/m,泊松比為0.4.膜結構經過找形分析得到的設計形狀如圖3所示.

膜結構等分為12塊,在圖3中,淺色部分為結構中一塊裁剪區域的形狀,通過曲面展平獲得初始的裁剪形狀,根據本文所提出的最優化方法對初始裁剪形狀進行優化分析.在優化過程中,式(2)中代表應力誤差的P值隨迭代次數增加的變化趨勢如圖4所示.

從圖4可以看到,隨著迭代的進行,應力誤差迅速減小,并最終收斂至一個非零的數值,表明采用本方法進行裁剪修正具有較高的效率,收斂時應力誤差無法消除符合實際情況.最終得到的最優裁剪形狀如圖5所示.

根據得到的最優裁剪膜片,分別計算其在中間形態和平衡形態時的應力分布,如圖6、7所示.在兩種形態時結構中應力的最大值均出現在結構頂部邊緣區域,而在結構頂部中間區域的應力則相比設計應力偏小.在結構曲率較大的頂部區域,應力誤差整體相對較大,而在較為平坦的底部區域,應力分布與設計應力非常接近.在應力重分布之后的平衡狀態,應力的最大最小值均更加接近設計值.

表1將采用本文方法計算的應力分布結果與采用了相同模型進行計算的研究結果進行對比,可以發現,在兩個主應力方向上應力大小的規律基本相似,本方法結果相對于另兩種方法整體的應力誤差更小.

結構在平衡形態時的形狀分布如圖8所示.圖中位移表示相對于設計形狀的變形,可以看到,在曲率較大的結構頂部,形狀誤差較大,而在曲率較小的結構底部則形狀誤差較小.在結構頂部焊縫處,結構相對設計結構產生向下的變形,而頂部中間區域則產生向上的變形.最大的變形量在1mm以內,約為結構尺度的1/500,表明優化后的裁剪片在實際成型后的形狀與設計形狀基本保持一致.

(1)本文提出的裁剪分析優化方法可以在曲面展平的基礎上對裁剪形狀進行調整,經過一定次數的迭代后,結構在中間形態時的應力誤差能夠大幅縮小并收斂,確保優化后的裁剪膜片在組成結構實際成型之后與設計結構之間的誤差是最小的,從而獲得最優化裁剪膜片.

(2)選取一個中國帽模型作為算例,分析了最優化膜片組成的結構實際平衡時的形態.對比兩位國外學者所提出的方法,在采用完全相同結構設計條件的情況下,本文的最優化裁剪膜片在實際平衡形態下的應力誤差更小,且形狀誤差也很小,表明本文的裁剪分析優化方法具有較高的精度.

(3)本文方法可以在結構的設計階段對結構實際建成后的形狀和應力分布狀態進行預估,從而判斷膜結構中可能發生褶皺或撕裂的位置,為實際工程提供參考.